Wenn du doch seit 10 Jahren UM Internet/Telefon/TV-Kunde bist (3play), dann solltest du doch wissen, dass im Haus (üblicherweise Keller, so vorhanden) der Hausanschluss sitzt und von da aus Koax-Kabel zu den TVs geht und eines zum Kabelmodem (gegebenenfalls hängt TV und Kabelmodem an einem Kabel/TV-Dose).
Von daher brauchst du dort wo du TV glotzen willst weiterhin Koax-Kabel.
Für Internet ist deine Lan-Verkabelung natürlich fit - kommt jetzt drauf an, wo die Lan-Kabel enden. Dort wäre der Router jetzt nicht verkehrt. Man kann aber genauso gut einen Switch am Knotenpunkt nehmen und den Router an einer anderen Lan-Dose montieren. Da wo der Kabelrouter/modem steht, sollte auch ein Koax-Anschluss sein - so wie du es jetzt auch hast!
Da dein Router (Fritzbox ? was stellst du dies als Frage ?? DU musst doch wissen was du hast ??? entweder es steht Fritzbox drauf, oder was anderes) wahrscheinlich WLan bietet und man idR auch WLan haben möchte für Handy usw. ist der Router am besten "zentral" montiert, wo man auch WLan nutzen will. Ob es für die ganze Wohnung reicht... aber an den Lan-Dosen kann man ja weitere WLan-Accesspoints einrichten nach Bedarf, würde ich eher empfehlen wie Repeater-Gebastel, was aber auch geht.
Die privaten in HD kannst du dir grundsätzlich (kostenpflichtig natürlich) freischalten lassen auf der SetTopBox/PayTV-Karte, die du schon von UM hast. Wenn diese so alt ist wie dein 20tsnder Vertrag, braucht es vielleicht eine neue Box, gibts dann aber von UM (gegen Portokosten) und kann dann definitiv HD. Wenn du ein Kabel-TV-taugliches TV hast (die unverschlüsselten Sender kann man auch direkt mit dem TV glotzen) und das TV auch eine CI+Schnittstelle bietet, wäre auch der Weg über ein CI+Modul von Unity denkbar = man muss nur das TV bedienen, keine zusätzliche STB mehr. Je nach TV mag es aber nicht oder nur eingeschränkt möglich sein aufzunehmen. Egal ob direkt mit TV oder dem Beistellgerät/STB von Unity: Koax-Anschluss benötigt.
Hast du einen Sky-Receiver (ebenfalls Koax-Anschluss) geht HD-TV eventuell auch darüber (ich glaub schon, wer das wie frei schaltet, Unity oder Sky: Hotline anfragen)
Grundsätzlich nimmst du deinen bestehenden Vertrag wie er ist mit bei Umzug (pauschal 60€ Umzugsgebühr) und es ändert sich erstmal garnix. Bei deinen 55€ sind dann auch schon die gut 20€ monatliche Grundgebühr für TV enthalten ?! (im Prinzip eigenständiger Vertrag, muss nicht zusammen abgebucht werden). Vielleicht willst du ja ein bischen mehr Internet haben ? wird grundsätzlich ein deutlich günstigeres Angebot geben, nur immer im Auge behalten, dass der neue Tarif meist nur für 12/24 Monate gilt und dann (deutlich) teurer wird (und auch 2 Jahre sind schnell um). Man kann sich natürlich auch regelmässig den Kündigungs/Rückgewinnungsstress antun, aber wenn du jetzt noch 20tsnd hast, wohl eher nicht dein Ding *g* (meines auch nicht

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Voraussetzung natürlich, dass im Haus schon ein Kabelanschluss liegt (dieses wie/wo kommt UM ins Haus macht nachdenklich). Für die 60 Euro Umzugsgebühr wird man dir keinen Kabelanschluss von der Strasse ins Haus legen, dann wäre dein Haus nicht angeschlossen/versorgt = tiefer in die Tasche greifen für den Anschluss (ich glaub so 350-400€), oder der Vertrag wird aufgelöst, da UM nicht liefern kann und das musst du dann auch nicht mehr zahlen, logisch.
TV an den Lan-Dosen (wenn kein Koax liegt) geht grundsätzlich auch. Dafür muss dann an einem Koax-Anschluss das TV-Signal in netzwerkfähiges Datensignal umgewandelt werden. Stichwort dazu: SatIP (so nennt sich die Übertragunsgstechnik, verlangt keine Schüssel sondern nutzt das KabelTV). Einige sehr moderne TV Geräte können das empfangen und dann geht mit dem passenden CI+Modul auch kodierte Sender wie private HD und Sky. Aber das Signal muss ja erstmal vom Kabel-Signal in das Netzwerk, dafür braucht es dann SatIP-Server. Je nachdem wie viele parallele Sender geguckt/aufgenommen werden sollen gibt es da Geräte zwischen 2 und 8 Streams. Da die wenigsten TVs SatIP unterstützen braucht es dann vergleichbar dem jetzigen Unitymedia Beistellgerät SatIP-Clients an den TV-Geräten. Daher, wie erwänt: da wo TV geglotzt werden soll am besten ein Koax-Anschluss (Kabel-TV-tauglich, auch digital TV, sind die meisten Geräte so nicht älter als 10 Jahre).
PS: Einfamilienhaus, bei Eigentum eh, gemietet hat man da idR auch einige Freiheiten: ich würde was auf TV-Schüssel/Satempfang machen. Bei UM zahlst du 21 Euro im Monat nur für "die Lizenz TV glotzen zu dürfen "(und die unkodierten Sender zu empfangen). Das sind knapp 250€/Jahr "füx nix = da gibts schon viel Satempfang für *g* also selbst wenn man mehrere TV Geräte mit STBs ausstatten muss, so hat man das nach 2. spätestens 3 Jahren wieder raus ! und Sky geht (mit mehr Sendern) und HD+/Private-HD geht (über Sky-Box oder eigenständig) - also nur Vorteile. Da mag sich auch die Beratung und Installation durch einen Fachmann schnell rechnen.